Penerapan Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari

Berikut adalah penerapan turunan dalam jarak, kecepatan, percepatan, dan waktu

Kecepatan adalah perubahan jarak terhadap waktu
Jika $s$ menyatakan jarak, dan $v$ menyatakan kecepatan,
Maka kecepatan atau perubahan jarak $s$ terhadap $t$ dapat dituliskan :
$\displaystyle{v(t)=\frac{ds}{dt}}$

Percepatan adalah Laju perubahan kecepatan terhadap waktu
Jika $s$ menyatakan jarak, $v$ menyatakan kecepatan dan $a$ menyatakan percepatan.
Maka percepatan atau laju perubahan kecepatan terhadap waktu dapat dituliskan :
$\displaystyle{a=\frac{dv}{dt}=\frac{{d^2}s}{dt^2}}$

Contoh:
sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya $s$ memenuhi $s=3t^2-15t+9$ , dengan $s$ dalam cm dan $t$ dalam detik dengan $t>0$ . Tentukan
- Kecepatan benda saat $t=1$ dan $t=5$
- Kapankah saat kecepatnnya 0 ?
- Kapankah kecepatannya positif ?

Jawab:
Misalkan $v(t)$ menyatakan kecepatan pada saat $t$ , maka:
$\displaystyle{v(t)=\frac{ds}{dt}=\frac{d(3t^2-15t+9)}{dt}=6t-15}$
Sehingga :
$v(1)=6.1-15=-9 \text{cm/detik}$
$v(1)=6.5-15=15 \text{cm/detik}$

Kecepatan 0 yaitu saat $6t-15=0$ , yaitu saat $t=\frac{5}{2}$.
Kecepatan positif saat $6t-15>0$ , yaitu pada saat $t>0$

SOAL 1

sebuah balon kecil di lepas pada jarak 145 meter dari seorang pengamat yang berdiri di atas tanah. Jika balon naik secara lurus ke atas tanah dengan laju 10 meter/detik. Seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon mecapai ketinggian 57 meter?
Jawab:
Misalkan:
$t$ menyatakan waktu
$h$ menyatakan ketinggian
$s$ menyatakan jarak balon dan pengamat.
Gambaran dari keadaan tersebut yaitu:

Gambaran keadaan tersebut membentuk sebuah segitga siku-siku.
Diketahui : $\displaystyle{\frac{dh}{dt}=10}$
Ditanyakan: $\displaystyle{\frac{ds}{dt}}$ pada saat $h=60$

Dari gambar segitiga sama kaki di atas, menurut rumus pythagoras, maka dapat dituliskan:
$s^2=h^2+(145)^2$ ... i
Kemudian jika persamaan tersebut didiferensialkan maka diperoleh:
$\displaystyle{2s\frac{ds}{dt}=2h\frac{dh}{dt}}$
Atau:
$\displaystyle{s\frac{ds}{dt}=h\frac{dh}{dt}}$ ... ii
Ini berlaku untuk semua $t>0$
Kemudian untuk $h=45$ , menurut persamaan i, maka:
$s^2=h^2+(145)^2$
$s=\sqrt{ h^2+(160)^2}$
$s=\sqrt{ 45^2+(160)^2}$
$s=\sqrt{ 2025+25600}$
$s=\sqrt{27625}$
$s=5\sqrt{1150}$ ... iii
Kemudian masukkan iii ke ii, sehingga :
$\displaystyle{s\frac{ds}{dt}=h\frac{dh}{dt}}$
$\displaystyle{5\sqrt{1150} \frac{ds}{dt}= (45) 10}$
$\displaystyle{\frac{ds}{dt}=\frac{450}{5\sqrt{1150}}=2,65}$
Jadi pada saat $h=45$ jarak anatar balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,65 meter/detik.

SOAL 2

Seorang penjaga pantai berada di sebuah karang mengawasi sebuah kapal yang akan bergerak ke arah pantai tepat di bawahnya. Teropong berada 300 dm di atas permukaan laut dan perahu bergerak mendekat dengan kecepatan 30 dm/detik, berapa laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 300 dm dari pantai?

Langkah-langkah penyelesaian:

Langkah 1: Menggambar sketsa
Berikut adalah gambaran dari soal tersebut:


Langkah 2:
Diketahui : $\displaystyle{\frac{dx}{dt}=-30}$ ; tanda negatif disebabkan perahu bergerak mendekati pantai sehingga bergerak semakin pelan, sehingga lajunya semakin berkurang dengan berlalunya waktu.

Langkah 3:
Menurut rumus perbandingan pada segitiga siku-siku, maka:
$\displaystyle{\tan \theta=\frac{x}{300}}$ ... i

Langkah 4:
Kita diferensialkan secara implisit, sehingga diperoleh:
$\displaystyle{\sec^2 \theta \frac{d \theta}{dt}=\frac{1}{300}. \frac{dx}{dt}}$ ... ii

Langkah 5:
Masukkan $x=300$ pada i, sehingga diperoleh:
$\displaystyle{\tan \theta=\frac{300}{300}}$
$\tan \theta=1$
$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{4}}$ radian
Sehingga :
$\displaystyle{\sec \theta=\sec (\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}}$

Langkah 6:
Masukkan $\sec \theta=\sqrt{2}$ ke dan $\frac{dx}{dt}=-30$ ke persamaan ii, sehingga diperoleh:
$\displaystyle \sqrt{2}\frac{d \theta}{dt}=\frac{1}{300}. (-30)$
$\displaystyle \frac{d \theta}{dt}=\frac{-1}{10}\sqrt{2}$
$\displaystyle \frac{d \theta}{dt}=-0,141$

Jadi pada saat perahu berada 300 dm dari pantai laju perubahan sudut teropongnya adalah -0,141 radian/detik.
Ket: tandanya negatif karena $\theta$ berkurang dengan berlalunya waktu.


Referensi:
Kalkulus Diferensial edisi ketujuh oleh Dale Verberg dan Edwin J.Purcell