Persamaan Garis Lurus

PERSAMAAN GARIS YANG DIKETAHUI SEBUAH TITIK KOORDINATNYA DAN KEMIRINGAN / GRADIENNYA

Garis yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ dengan kemiringan $m$ mempunyai persamaan:

$\boxed{y-y_1=m(x-x_1)}$ ... (i)

Dengan kemiringan $m$ dari suatu garis didefinisikan:

$m=\displaystyle\frac{y_2-y_1}{ x_2-x_1}$

Dengan ${x_1}\neq {x_2}$

Contoh:

Misalnya terdapat sebuah garis yang melalui (5,2) dan mempunyai kemiringan $\displaystyle\frac{3}{5}$
Langkah 1: ambillah sebarang titik $(x,y)$
Langkah 2: menurut rumus kemiringan kemiringan untuk mendapatkan $\displaystyle\frac{3}{5}$ maka:
$\displaystyle\frac{y-2}{x-5}=\frac{3}{5}$ ... menurut definisi dari $m$
$5(y-2)=3(x-5)$
$y-2=\displaystyle(\frac{3}{5})(x-5)$
Pada persamaan terakhir di atas terlihat bahwa memenuhi persamaan garis lurus yaitu pada persamaan i.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PERSAMAAN GARIS YANG DIKETAHUI DUA TITIK KOORDINATNYA

Persamaan garis yang melalui titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ adalah
$y-y_1=m(x-x_1) ...(i)$
$y-y_1=\displaystyle(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})(x-x_1)$
$\displaystyle\frac{y-y_1}{x-x_1}=\displaystyle\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} ...(ii)$

Sebenarnya untuk untuk mencari persamaan garis lurus yang diketahui dua titik koordinatnya tidak harus menggunakan persamaan ii, bisa juga digunakan persamaan i dengan cara mencari gradiennya terlebih dahulu.

Contoh:
Cari persamaan garis yang melalui (-3,7) dan (1,4)
Jawab

Pengerjaan dengan menggunakan persamaan i

Langkah 1: cari kemiringan garis
$m=\displaystyle(\frac{y_2-y_1}{ x_2-x_1}=\frac{4-7}{1+3}=-\frac{3}{4})$

Langkah 2: menerapkan rumus persamaan garis lurus
$y-4=\displaystyle(\frac{3}{4})(x-1)$
$y-4=\displaystyle(-\frac{3}{4} x+\frac{3}{4})$
$y=\displaystyle(-\frac{3}{4} x+\frac{19}{4})$

Pengerjaan dengan menggunakan persamaan ii
$\displaystyle\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$\displaystyle\frac{y-7}{x+3}=\frac{4-7}{1+3}$
$\displaystyle\frac{y-7}{x+3}=-\frac{3}{4}$
$(y-7)=-3(x+3)$
$y-7=\displaystyle\frac{-3x-9}{4}$
$y=\displaystyle(-\frac{3x}{4}-\frac{9}{4}+\frac{28}{4}$
$y=\displaystyle((-\frac{3x}{4})-\frac{19}{4}$
Jadi persamaan yang melalui $(-3,7), (1,4)$ dengan kemiringan $-\frac{3}{4}$ adalah $y=\displaystyle((-\frac{3x}{4})-\frac{19}{4}$ atau bisa dituliskan $3x+4y=19$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PERSAMAAN GARIS LURUS YANG DIKETAHUI TIGA TITIK KOORDINATNYA

Jika menemui soal tentang persamaan garis lurus yang diketahui tiga titik koordinatnya maka tinggal pilih dua titik koordinat dari yang diketahui dan mengerjakannya sama dengan mengerjakan saat pencarian persamaan garis lurus saat diketahui dua titik koordinatnya.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PERSAMAAN GARIS YANG SALING SEJAJAR

Dua garis yang saling sejajar jika dan hanya jika dua garis tersebut mempunyai kemiringan yang sama.

Artinya dua buah garis yang sejajar maka dua garis tersebut mempunyai kemiringan yang sama. Begitupun sebaliknya jika dua buah garis mempunyai kemiringan yang sama maka dua garis tersebut saling sejajar.

Atau dapat dituliskan : $l_1$ dikatakan sejajar $l_2$ jika $m_1=m_2$ , begitupun sebaliknya jika $m_1=m_2$ maka $l_1$ dikatakan sejajar $l_2$.

Keterangan :
$l_1$: persamaan garis pertama
$l_2$ : persamaan garis kedua
$m_1$: kemiringan/gradien garis pertama
$m_2$: kemiringan/gradien garis kedua

Contoh :
Carilah persamaan garis lurus yang melalui (3,-3) dan sejajar garis $2x+3y=6$
Jawab :

Langkah 1: mencari kemiringan garis $2x+3y=6$
Pada garis
$2x+3y=6$
$3y=-2x+6$
$y=-\displaystyle\frac{2}{3}x+2$
Maka garis $2x+3y=6$ mempunyai kemiringan $m_1=-\displaystyle\frac{2}{3}$

Langkah 2: mencari persamaan garis kedua
Karena garis kedua sejajar dengan garis pertama maka $m_2=m_1=-\displaystyle\frac{2}{3}$
Sehingga persamaan garis yang melalui (6,-3) dengan $m=-\displaystyle\frac{2}{3}$ yaitu :
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y+3=-\displaystyle\frac{2}{3}(x-6)$
$y+3=-\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{12}{3}$
$y=-\displaystyle \frac{2}{3}x+4$
$2x+3y=3$
Jadi persamaan garis yang melalui (6,-3) dan sejajar dengan garis $2x+3y=6$ adalah
$y=2x+3y=3$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PERSAMAAN GARIS YANG SALING TEGAK LURUS

Dua buah garis saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan keduanya saling berkebalikan negatif.

Atau dapat dituliskan : $ l_1$ dikatakan tegak lurus $l_2$ jika $m_1=-\frac{1}{m_2}$ , begitupun sebaliknya jika $m_1=-\frac{1}{m_2}$ maka $l_1$ dikatakan tegak lurus $l_2$

Keterangan :
$l_1$ : persamaan garis pertama
$l_2$ : persamaan garis kedua
$m_1$ : kemiringan (gradien) garis pertama
$m_2$ : kemiringan (gradien) garis kedua

Contoh :
Carilah persamaan garis yang melalui (1,2) dan sejajar garis $y=2x+5$
Jawab :

Garis $y=2x+5 $
Dengan $m_1=2$ maka $m_2=-\displaystyle \frac{1}{2}$
Sehingga persamaan garis yang melalui (1,2) dengan $m=-\displaystyle \frac{1}{2}$ yaitu :
$y-2=-\displaystyle \frac{1}{2}(x-1)$
$y-2=-\displaystyle \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$
$y=-\displaystyle\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}$
$2y=-x+5$
$x+2y=5$
Jadi persamaan garis yang melalui (1,2) dan tegak lurus garis $y=2x+5$ adalah $x+2y=5$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PERSAMAAN GARIS YANG MEMOTONG SUMBU Y

untuk mencari persamaan garis yang memotong sumbu y sama saja dengan mencari persamaan garis yang melalui (0,c), dengan c adalah suatu konstanta.

Berikut adalah persamaan suatu garis yang mempunyai kemiringan m dan memotong sumbu y, di titik (0,c), yaitu :
$y-y_1=m(x-x_1 )…(i)$
$y-c=m(x-0)$
$y-c=mx$
$y=mx+c…(iii)$

Contoh :
Carilah persamaan garis yang melalui (0,4) dan mempunyai kemiringan 3
Jawab :
$y=mx+c$
$y=3x+4$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MEMOTONG SUMBU X


Untuk mencari persamaan garis yang memotong sumbu y sama saja dengan mencari persamaan garis (b,0), dengan b adalah suatu konstanta

Berikut adalah persamaan suatu garis yang mempunyai kemiringan m dan memotong sumbu y, di titik (b,0), yaitu :
$y-y_1=m(x-x_1 )…(i) $
$y-0=m(x-b)$
$y=m(x-b)…(iv)$

Contoh :
Carilah persamaan garis yang melalui A(2,0) dan dengan kemiringan m=1/3
Jawab :
$y=m(x-b)$
$y=\frac{1}{3}(x-2)$
$y=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}$


Semoga Bermanfaat

Referensi: Kalkulus Edisi ketujuh oleh Dale Verberg dan Edwin J. Purcell