Aplikasi Luas Juring dan Tembereng

Bagaimanakah menghitung luas daerah hasil irisan 2 bidang atau lebih, tentunya kita membutuhkan rumus luas dari berbagai macam bangun yang dapat kita gunakan untuk menghitungnya. Berikut contohnya

Perhatikan gambar di atas, ABCD adalah sebuah bangun persegi, lalu bagaimanakah cara menghitung luas daerah yang berwarna pink yaitu daerah EFGH?
Pertama gambar tersebut diubah menjadi seperti berikut:

Karena ABCD adalah persegi maka AB=BC=CD=AD
Misalkan AB=BC=CD=AD=p

Langkah-langkah menghitung luas daerah EFGH yaitu :

Langkah 1: Menentukan luas tembereng BD

Menentukan luas tembereng BD dari $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat C dan luas termbereng BD dari $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat A, sehingga diketahui luas daerah DEKFBGMH
Karena ABCD adalah persegi maka $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat C dan $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan A mempunyai luas yang sama sehingga luas tembereng BD dengan pusat C sama dengan luas tembereng BD dengan pusat A.

Luas tembereng BD yaitu:
=Luas juring CBD - luas segitiga CBD
=$\displaystyle\frac{1}{4}.\pi.r^2-\frac{1}{2}.a.t$
=$\displaystyle\frac{1}{4}.\frac{22}{7}.p^2-\frac{1}{2}.p.p$
=$\displaystyle\frac{22}{28}.p^2-\frac{1}{2}.p^2$
=$\displaystyle\frac{22}{28}.p^2-\frac{14}{28}.p^2$
=$\displaystyle\frac{8}{28}.p^2$
=$\displaystyle\frac{2}{7}.p^2$

Sehingga luas daerah DEKFBGMH yaitu:
=luas tembereng BD dengan pusat C + luas tembereng BD dengan pusat A
=$4\displaystyle\frac{2}{7}.p^2+\frac{2}{7}.p^2$
=$\displaystyle\frac{4}{7}.p^2$

Langkah 2:Menghitung luas daerah DEKFLGC

Langkah 2.1:Menghitung luas segitiga DCF

Lihat $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat C, CD adalah jari-jari lingkaran, kemudian jika ditarik garis lurus dari C ke F maka CF juga merupakan jari-jari dari $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat C.
Lihat $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat D, DC adalah jari-jari lingkaran, kemudian jika ditarik garis lurus dari D ke F maka DF juga merupakan jari-jari dari $\frac{1}{4}$ lingkaran dengan pusat D.
Sehingga terbentuklah segitiga DCF, dengan CD=CF=DF, karena panjang ketiga sisinya sama maka DCF merupakan segitiga sama sisi.

Tarik garis tinggi dari titik F ke garis DC sehingga memotong DC di titik R. Karena segitiga DCF sama sisi maka garis FR memotong DC sehingga DR=CR. Kemudian kita cari panjang FR dengan teorema pythagoras

$FR=\displaystyle\sqrt{CF^2-CR^2}$
$FR=\displaystyle\sqrt{p^2-\left(\frac{1}{2}p\right)^2}$
$FR=\displaystyle\sqrt{p^2-\frac{1}{4}p^2}$
$FR=\displaystyle\sqrt{\frac{3}{4}p^2}$
$FR=\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{3}p$

Luas segitiga DCF=$\displaystyle\frac{1}{2}.p.\frac{1}{2}\sqrt{3}p=\frac{1}{4}\sqrt{3}p^2$

Langkah 2.2: Menghitung luas tembereng DF pada juring DCF

Sebelum menghitung luas tembereng DF kita menghitung besar sudut DCF.

$\displaystyle\sin C=\frac{CR}{CF}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}p}{p}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\displaystyle C=\arcsin \frac{1}{2}\sqrt{3}=60^\circ$
Luas juring DCF=$\displaystyle \frac{60}{360}\pi r^2=\frac{1}{6}.\frac{22}{7}.p^2=\frac{11}{21}p^2$

sehingga luas tembereng DF yaitu :
=luas juring DCF - luas segitiga DCF
=$\displaystyle\frac{11}{21}p^2-\frac{1}{4}\sqrt{3}p^2$
=$\displaystyle\frac{44}{84}p^2-\frac{21}{84}\sqrt{3}p^2$
=$\displaystyle\left(\frac{44-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2$

Langkah 2.3:Menghitung luas tembereng CF pada juring CDF

Karena ABCD adalah persegi maka ¼ lingkaran dengan pusat C dan ¼ lingkaran dengan pusat D mempunyai luas yang sama sehingga luas tembereng DF dengan pusat C sama dengan luas tembereng CF dengan pusat D, yatu :

luas tembereng DF= =$\displaystyle\left(\frac{44-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2$
sehingga :

luas daerah DEKFLGC yaitu:
=luas segitiga DCF+luas tembereng DF+luas tembereng CF
$=\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{3}p^2+\left(\frac{44-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2+\left(\frac{44-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2$
$=\displaystyle\frac{21}{84}\sqrt{3}p^2+\left(\frac{44-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2+\left(\frac{44-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2$
$=\displaystyle\frac{88-21\sqrt{3}}{84}p^2$

Langkah 3:Menghitung luas segitiga DOC

Sebelumnya telah diketahui bahwa FR adalah garis tinggi dari segitiga DCF, maka OR adalah garis tinggi segitiga DOC.

Karena DOC adalah segitiga sama kaki maka garis tinggi OR memotong DC menjadi dua sama panjang sehingga
$DR=CR=\frac{1}{2} p$.

Karena ABCD adalah sebuah persegi dengan OR adalah garis tinggi maka OR tegak lurus dengan DC, kemudian dengan BC tegak lurus DC, maka OR sejajajar dengan BC.
Dengan OR sejajar BC dan dengan O sebagai titik tengah maka
$\displaystyle {OR=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}p}$

sehingga luas segitiga DOC yaitu:
$=\displaystyle\frac{1}{2}.OR.DC$
$=\displaystyle\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.p.p$
$=\displaystyle\frac{1}{4}p^2$

Langkah 4: Menghitung luas daerah DNOKE dan CMOLG

Luas daerah DNOKE yaitu:
$=\displaystyle\frac{1}{4}.(\text{luas daerah DEKFBGMH})$
$=\displaystyle\frac{1}{4}.\frac{4}{7}.p^2$
$=\displaystyle\frac{1}{7}.p^2$

Luas daerah CMOLG yaitu:
$=\displaystyle{1}{4}.(\text{luas daerah DEKFBGMH})$
$=\displaystyle\frac{1}{4}.\frac{4}{7}.p^2$
$=\displaystyle\frac{1}{7}.p^2$

Langkah 5: menghitung luas daerah FLOK

Luas daerah FLOK yaitu:
$=\displaystyle\text{L.DEKFLGC – L.Segitiga DOC – L.Daerah DNOKE – L.Daerah CMOLG}$
$=\displaystyle{\left(\frac{88-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2-\frac{1}{4}p^2-\frac{1}{7}p^2-\frac{1}{7}p^2}$
$=\displaystyle{\left(\frac{88-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2-\frac{21}{84}p^2-\frac{12}{84}p^2-\frac{12}{84}p^2}$
$=\displaystyle{\left(\frac{43-21\sqrt{3}}{84}\right)}p^2$

Langkah 6: Luas daerah pink / luas daerah yang diblok

Karena Luas Daerah FLOK = Luas Daerah LGMO = Luas Daerah MHNO = Luas Daerah NEKO
Luas daerah EKFLGMHN atau daerah pink yaitu:
$=\displaystyle 4.\text{Luas daerah FLOK}$
$=\displaystyle 4.\left(\frac{43-21\sqrt{3}}{84}\right)p^2$
$=\displaystyle \left(\frac{43-21\sqrt{3}}{21}\right)p^2$
$=\displaystyle \left(\frac{43}{21}-\sqrt{3}\right)p^2$
$=\displaystyle \left(0,3155...\right)p^2$

Jadi Luas daerah yang berwarna pink/ luas daerah yang di blok adalah$=\displaystyle \left(0,3155...\right)p^2$

sekian dan terima kasih...