Menghitung Turunan Fungsi Matematika

Turunan atau disebut juga dengan diferensial. Turunan adalah bagian dari kalkulus, yaitu kalkulus diferensial.

Konsep turunan yaitu perubahan suatu fungsi akibat berubahnya nilai yang dimasukkan. Contohnya yaitu seperti laju pertumbuhan penduduk, laju pertumbuhan organisme, dll. Proses perhitungan turunan disebut dengan “Pendiferensialan”.

Dengan fungsi (y=f(x))

Untuk menyatakan turunan kita gunakan notasi

(\displaystyle\frac{dy}{dx}) untuk turunan pertama, $\displaystyle\frac{{d^2}y}{{d^2}x}$ untuk turunan kedua, dan $\displaystyle\frac{{d^n}y}{{d^n}x}$ untuk turunan ke-n

Selain itu bisa juga :

$y’$ untuk turunan pertama, $y’’$ untuk turunan kedua, dan $y^{(n)}$ untuk turunan ke-n

Atau bisa juga:

${f(x)}’$ untuk turunan pertama, ${f(x)}’’$ untuk turunan kedua, dan ${f(x)}^{(n)}$ untuk turunan ke-n

Berikut adalah rumus dasar turunan berdasarkan aturan perhitungan turunan:


Aturan Konstanta

Jika (y=k) dengan $k$ adalah suatu konstanta,

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=0}$

Contoh: $y=5$, maka $y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(5)}{dx}=0$


Aturan Fungsi Identitas

Jika $y=f(x)=x$,

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(x)}{dx}=1}$


Aturan Pangkat

Jika $y=f(x)=x^n$, dengan n adalah rasional

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}}$

Contoh: $y=x^7$, maka $y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=7x^{7-1}=7x^6$


Aturan Kelipatan Konstanta

Jika $y=k.f(x)$, dengan $f(x)=u$ dan $k$ adalah konstanta

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=k.u’}$

Contoh: $y=2x^5$, maka $y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=2(5)x^6=10x^6$


Aturan Jumlah

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$,dan $y=f(x)+g(x)=u+v$

maka:

$\boxed{(u+v)’=u’+v’}$

Contoh: $y=3x^2+2x$, maka $y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(3x^2)}{{d}x}+ \frac{{d}2x}{{d}x}=6x+2$


Aturan Selisih

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$,dan $y=f(x)-g(x)=u-v$

maka:

$\boxed{y'=(u-v)’=u’-v’}$

Contoh: $y=3x^4-x^2$, maka $y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(3x^4)}{{d}x}- \frac{{d}(x^2)}{{d}x}=12x^3-2x$


Aturan Hasil Kali

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$,dan $y=(f(x))(g(x))=uv$

maka:

$\boxed{(uv)'=u’v+uv’}$

Contoh: $y=(x^2-1)(x-3)$, maka

$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(x^2-1)}{{d}y} (x-3)-(x^2-1) \frac{{d}(x-3)}{{d}x}$
$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x(x-3)+(x^2-1)(1)$
$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x^2-6x+x^2-1$
$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}==3x^2-6x-1$


Aturan Hasil Bagi

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$, dan $y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{u}{v}$

maka:

$\boxed{y'=\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u’v-uv’}{v^2}}$

Contoh: $y=\displaystyle\frac{2x}{(x-2)}$, maka:

$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{{d}(2x)}{{d}x}(x-2)-(2x) \frac{{d}(x-2)}{{d}x}}{(x-2)^2}$
$y’=\displaystyle(\frac{dy}{dx}=\frac{2(x-2)-(2x)(1)}{(x-2)^2})$
$y’=\displaystyle(\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{(x-2)^2})$


PENDIFERENSIALAN FUNGSI KOMPOSIT

Untuk menjelaskan tentang fungsi komposit, dapat kita gambarkan dengan cerita berikut:

Dalam sebuah perlombaan lari, peserta bernama Nina berlari 3 kali lebih cepat dari pada Susan, Susan dapat berlari 4 kali lebih cepat dari pada Rini, maka Nina dapat berlari $(3.4)=12$ lebih cepat dari pada Rini.

Andaikan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$

Menentukan fungsi komposit $y=f(g(x))$

Karena suatu turunan menunjukkan suatu laju perubahan, maka dapat dikatakan:

perubahan $y$ sama cepatnya dengan $\displaystyle\frac{dy}{du}$

perubahan $u$ sama cepatnya dengan $\displaystyle\frac{du}{dx}$

Sehingga dapat disimpulkan:

perubahan $y$ sama cepatnya dengan $\displaystyle(\frac{dy}{du}).(\frac{du}{dx})$


Aturan Rantai

Misalkan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$ , menentukan fungsi komposit $y=f(g(x))=(f\circ g)(x)$.

Jika :

$g$ terdiferensialkan di $x$

dan $f$ terdiferensialkan di $u=g(x)$,

maka

$(f\circ g)(x)$ terdiferensialkan di $x$

dan

$(f\circ g)(x)=f’(g(x)) g’(x)$ .


Atau bisa dituliskan:

Dengan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$, maka:

$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx})$
$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\frac{{d}f(u)}{du})(\frac{{d}g(x)}{dx})$


Contoh:

$y=(3x^2+4x-5)^7$

Jadi $y=u^7$ dengan $u=3x^2+4x-5$

Maka:

$y’=\displaystyle(\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx})$
$y’=\displaystyle(\frac{{d}u^7}{du})(\frac{{d}(3x^2+4x-5)}{dx})$
$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=7u^6(6x+4)$
$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=7(3x^2+4x-5)^6(6x+4)$


TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Berikut adalah turunan dari sinus dan cosinus :

$y=\sin x$ maka $y'=(\sin x)'=\cos x$

$y=\cos x$ maka $y'=(\cos x)'=-\sin x$

Untuk trigonometri seperti tangen, cotangen, secan, dan cosecan, yaitu :

$y=\tan x$ maka $y'=(\tan x)'=\sec^2 x$

$y=\cot x$ maka $y'=(\cot x)'=-\csc^2 x$

$y=\sec x$ maka $y'=(\sec x)'=(\sec x)(\tan x)$

$y=\csc x$ maka $y'=(\csc x)'=(-\csc x)(\cot x)$


Sekian dan Terima kasih..Semoga Bermanfaat...

Referensi : Kalkulus Edisi Ke tujuh Oleh Dale Varberg dan Edwin J. Purcell