Menghitung Integral Fungsi Matematika

Integral disebut juga anti turunan. Bahasa simpelnya Yaitu mengembalikan fungsi yang telah diturunkan menjadi seperti semula

Lambang untuk integral yaitu kita menggunakan lambang yang digunakan Leibniz yaitu: ∫

Jika integral dari $f(x)$ maka dituliskan :

$\displaystyle\int{f(x)}\,dx$

Rumus-rumus perhitungan Integral


Aturan Pangkat

Jika $r$ adalah sebarang bilangan rasioanl kecuali (-1), maka :

$\displaystyle\int{x^r}\,dx=\frac{x^(r+1)}{r+1}+C$

Dengan $C$ adalah sebuah konstanta

Contoh: $y=4x$

Maka $\displaystyle\int{x}\,dx=4\int{x}\,dx=\frac{x^2}{2}+C$


Aturan Perkalian Konstanta

Misalkan $f(x)$ dan $k$ adalah konstanta, maka:

$\displaystyle\int{kf(x)}\,dx=k\int{f(x)}\,dx$


Aturan Penjumlahan

Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi, sedangkan $k$ adalah konstanta, maka:

$\displaystyle\int{(f(x)+g(x))}\,dx= \int{f(x)}\,dx+\int{f(x)}\,dx $


Aturan Selisih

Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi, sedangkan $k$ adalah konstanta, maka:

$\displaystyle\int{(f(x)-g(x))}\,dx= \int{f(x)}\,dx-\int{f(x)}\,dx $


Contoh untuk Aturan perkalian konstanta, penjumlahan, dan selisih:

Hitunglah $\displaystyle{\int{4x^2+3x-6}\,dx}$

Maka

$\displaystyle{\int{4x^2+3x-6}\,dx}$
$=\displaystyle{4\int{x^2}\,dx+3\int{x}\,dx-\int{6}\,dx}$
$=\displaystyle{4(\frac{x^3}{3}+C_1)+3(\frac{x^2}{2}+C_2)-6(x+C_3)}$
$=\displaystyle{4\frac{x^3}{3}+4C_1+3\frac{x^2}{2}+3C_2-6x+6C_3}$
$=\displaystyle{4\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}-6x+(4C_1+3C_2-6C_3)}$
$=\displaystyle{4\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}-6x+C}$


Aturan Pangkat yang Dirampatkan

Jika $u=f(x)$ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan $r$ adalah bilangan rasional dengan $r\neq(-1)$ , maka :

$\displaystyle\int{(f(x))^r f’(x)}\,dx=\frac{(f(x))^(r+1)}{r+1}+C$

Contoh:

Hitunglah $\int{(x^3+2x)^5 (3x+2)}\,dx$

Pada fungsinya dapat dituliskan $f(x)=x^3+2x)$ dan $f’(x)=(3x+2)$

Maka:

$\displaystyle\int{(x^3+2x)^5 (3x+2)}\,dx=(x^3+2x)^{(5+1)}+C=(x^3+2x)^6+C$


INTEGRAL TRIGONOMETRI

$\displaystyle\int{\sin x}\,dx=-\cos x+C$

$\displaystyle\int{\cos x}\,dx=\sin x+C$

Contoh :

Hitunglah $\int{(\cos^2 x)(\sin x}\,dx$

Jawab:

Dengan $\int{(\cos^2 x)(\sin x})\,dx$ ...i

Misalkan $u=\cos x$ dan $du=(\sin x)dx$ ...ii

Langkah 1: Subtitusikan ii ke i

Sehingga didapatkan:

$\displaystyle\int{(\cos^2 x)(\sin x}\,dx=\int{u^2}du=\frac{u^3}{3}+C$...iii

Langkah 2: Subtitusikan $u=\cos x$ pada iii

Sehingga dihasilkan :

$\displaystyle\frac{u^3}{3}=\frac{\cos^3 x}{3}+C$

Jadi $\displaystyle\int{(\cos^2 x)(\sin x}\,dx=\frac{\cos^3 x}{3}+C $