Langkah-langkah Menghitung Integral (sin x)^2

$\displaystyle\int{\sin^2 x}\,dx=...?$

Langkah-langkah perhitungan:

Langkah 1: Ubah $\sin x$ dalam bentuk lain, gunakan fungsi identitas dari pythagoras

$\sin^2 x=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}$

Sehingga integralnya menjadi:

$\int{\sin^2 x}\,dx=\displaystyle\int{\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}}\,dx$ ...i

Langkah 2: Gunakan aturan penjumlahan

$\displaystyle\int{(f(x)+g(x))}\,dx= \int{f(x)}\,dx+\int{f(x)}\,dx $ ... ket: aturan penjumlahan

Sehingga menjadi:

$\displaystyle\int{\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}}\,dx$

$=\displaystyle\int{\frac{1}{2}}\,dx-\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx$ ... ii


Langkah 3: Dari persamaan ii, Menghitung $\int{\frac{1}{2}}\,dx$

$=\displaystyle\int{\frac{1}{2}}\,dx=\frac{x}{2}+C_1$... iii


Langkah 4: Dari persamaan ii, Menghitung $\displaystyle\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx$

Gunakan aturan perkalian konstanta : $\displaystyle\int{kf(x)}\,dx=k\int{f(x)}\,dx$

$\displaystyle\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int{\cos 2x}\,dx$ ... iv


Langkah 5: Masukkan iv ke ii

Sehingga menjadi :

$=\displaystyle\int{\frac{1}{2}}\,dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2x}\,dx$


Langkah 6: Menghitung $\int{\cos 2x}\,dx$

Misalkan $u=2x$ dan $du=2 dx$ maka $dx=\frac{1}{2}du$

$\displaystyle\int{\cos 2x}\,dx$
$=\displaystyle\int{(\cos u)(\frac{1}{2}}\,du$
$=\displaystyle\int{\frac{\cos u}{2}}\,du$ ... v


Langkah 7: Dari persamaan v, Menghitung $\displaystyle\int{\frac{\cos u}{2}}\,du$

Dengan menggunakan aturan perkalian konstanta dan $\int{\cos u}\,du=\sin u$

Sehingga menjadi:

$\displaystyle\int{\frac{\cos u}{2}}\,du=\frac{1}{2}(\sin u)+C_2$ ... vi


Langkah 8: Masukkan (u=2x) pada hasil pengintegralan di vi

Sehingga :

$\displaystyle\int{\cos 2x}\,dx=\frac{1}{2}(\sin 2x)+C_2$ ...vii


Langkah 9: Masukkan iii dan vii pada iv
Sehingga didapatkan:
$\displaystyle{\int{\frac{1}{2}}\,dx-\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx}$
$=\displaystyle{\int{\frac{1}{2}}\,dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2x}\,dx}$
$=\displaystyle{(\frac{x}{2}+C_1)-(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(\sin 2x)+C_2)}$
$=\displaystyle{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}(\sin 2x)+C_1+C_2}$
$=\displaystyle{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}(\sin 2x)+C}$


HASIL: $\displaystyle\int{\sin^2 x}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}(\sin 2x)+C $