Loading [MathJax]/extensions/MathEvents.js

Translate

Saturday, March 30, 2019

Langkah-langkah Menghitung Integral (sin x)^2




\displaystyle\int{\sin^2 x}\,dx=...?

Langkah-langkah perhitungan:

Langkah 1: Ubah \sin x dalam bentuk lain, gunakan fungsi identitas dari pythagoras

\sin^2 x=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}

Sehingga integralnya menjadi:

\int{\sin^2 x}\,dx=\displaystyle\int{\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}}\,dx ...i

Langkah 2: Gunakan aturan penjumlahan

\displaystyle\int{(f(x)+g(x))}\,dx= \int{f(x)}\,dx+\int{f(x)}\,dx ... ket: aturan penjumlahan

Sehingga menjadi:

\displaystyle\int{\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}}\,dx

=\displaystyle\int{\frac{1}{2}}\,dx-\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx ... ii


Langkah 3: Dari persamaan ii, Menghitung \int{\frac{1}{2}}\,dx

=\displaystyle\int{\frac{1}{2}}\,dx=\frac{x}{2}+C_1... iii


Langkah 4: Dari persamaan ii, Menghitung \displaystyle\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx

Gunakan aturan perkalian konstanta : \displaystyle\int{kf(x)}\,dx=k\int{f(x)}\,dx

\displaystyle\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int{\cos 2x}\,dx ... iv


Langkah 5: Masukkan iv ke ii

Sehingga menjadi :

=\displaystyle\int{\frac{1}{2}}\,dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2x}\,dx


Langkah 6: Menghitung \int{\cos 2x}\,dx

Misalkan u=2x dan du=2 dx maka dx=\frac{1}{2}du

\displaystyle\int{\cos 2x}\,dx
=\displaystyle\int{(\cos u)(\frac{1}{2}}\,du
=\displaystyle\int{\frac{\cos u}{2}}\,du ... v


Langkah 7: Dari persamaan v, Menghitung \displaystyle\int{\frac{\cos u}{2}}\,du

Dengan menggunakan aturan perkalian konstanta dan \int{\cos u}\,du=\sin u

Sehingga menjadi:

\displaystyle\int{\frac{\cos u}{2}}\,du=\frac{1}{2}(\sin u)+C_2 ... vi


Langkah 8: Masukkan (u=2x) pada hasil pengintegralan di vi

Sehingga :

\displaystyle\int{\cos 2x}\,dx=\frac{1}{2}(\sin 2x)+C_2 ...vii


Langkah 9: Masukkan iii dan vii pada iv
Sehingga didapatkan:
\displaystyle{\int{\frac{1}{2}}\,dx-\int{\frac{\cos 2x}{2}}\,dx}
=\displaystyle{\int{\frac{1}{2}}\,dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2x}\,dx}
=\displaystyle{(\frac{x}{2}+C_1)-(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(\sin 2x)+C_2)}
=\displaystyle{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}(\sin 2x)+C_1+C_2}
=\displaystyle{\frac{x}{2}-\frac{1}{4}(\sin 2x)+C}


HASIL: \displaystyle\int{\sin^2 x}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}(\sin 2x)+C


No comments:

Post a Comment