Pengertian dan Perhitungan Limit

Dalam kehidupan sehari-hari kita berkata “saya telah mencapai batas kemampuan saya” hal ini mempunyai hubungan dengan kalkulus tetapi tidak banyak.

Pemahaman secara intuisi :

Tinjau fungsi yang ditentukan oleh rumus

$f(x)=\displaystyle\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-2}$

Perhatikan bahawa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada $x=2$ karena di titik ini $f(x)=\frac{0}{0}$ (tanpa arti).

Namun kita masih bisa membahas bagaimana dengan nilai $f(x)$ saat $x$ mendekati 2?

Lebih tepatnya apakah $f(x)$ mendekati bebrapa bilangan tertentu saat $x$ mendekati 2?

Berikut adalah grafik yang menunjukkan nilai-nilai dari $f(x)$ saat $x$ mendekati 2


Untuk dapat menjawab pertanyaan ini kita melakukan 3 langkah yaitu :

Langkah 1:

Menghitung beberapa nilai $f(x$) untuk $x$ mendekati 2

Tabel

Terlihat bahwa nilai $f(x)$ mendekati 3, saat $x$ mendekati 2, maka secara matematis dapat dituliskan :

$f(x)=\displaystyle\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-2}=3$

Ini dibaca Limit $\displaystyle\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-2}$ untuk $x$ mendekati 2 adalah 3


Langkah 2:

Menyederhanakan fungsi

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-2}$
$=\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2-1) }{x-2}$
$=\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^2-1)$
$=(2x^2-1)$
$=4-1=3$

Terlihat bahwa $\displaystyle\frac{x-2}{x-2}=1$ jika $x \neq 2$ , sehingga langkah penyederhanaan yang kita lakukan adalah telah benar


Langkah 3:

Dasar dari langkah kita, meyakinkan kembali bahwa langkah yang kita lakukan benar.

Definisi :

Pengertian Limit secara intuisi:

$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$

Berarti bahwa jika $x$ dekat tapi berlainan dengan $c$, maka $f(x)$ dekat ke $L$.


Ini dapat diartikan bahwa fungsi $f$ tidak perlu terdefinisi di $c$, seperti pada contoh di atas yaitu pada persamaan $\displaystyle\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-2}$ , sehingga inti pemikiran dari limit ini adalah suatu fungsi yang dekat dengan $c$, bukan di $c$.


Lalu muncul pertanyaan, apakah semua fungsi mempunyai limit, sehingga untuk memastikannya gunakan definisi “Limit-limit Sepihak”



LIMIT-LIMIT SEPIHAK

Definisi: Limit Kiri dan Limit Kanan

$\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)=L$, yaitu jika $x$ mendekati $c$ dari sebelah kanan maka $f(x)$ mendekati $L$
$\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)=L$, yaitu jika $x$ mendekati $c$ dari sebelah kiri maka $f(x)$ mendekati $L$

Keterangan :
$\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)=L$: limit kanan
$\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)=L$: limit kiri



Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa :

Jika $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^-}f(x)=L$, maka $\displaystyle\lim_{x \to c}f(x)=L$ dan begitu juga sebaliknya.

Jadi bisa dikatakan suatu fungsi memiliki limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama.

Contoh 1:

$\displaystyle\lim_{x\to 3}(3x-5)=3(3)-5=4$

Saat $x$ mendekati $3$, maka $(3x-5)$ dekat terhadap 4

Contoh 2:

$y=\displaystyle{[|x|]}$
Ket : $y=\displaystyle{[|x|]}$ adalah fungsi yang dibulatkan kebawah. Misal dengan x=3,7 maka y=3.

Untuk $x=1$, dan $x$ dekat dengan 2, maka $[|x|]=1$
Untuk $x=2$, dan $x$ dekat dengan 3, maka $[|x|]=2$
Untuk $x=3$, dan $x$ dekat dengan 4, maka $[|x|]=3$
Dan seterusnya...

Jadi misalnya kita pilih untuk menghitung $\displaystyle\lim_{x\to 3}[|x|]=...?$

Maka dengan

$\displaystyle\lim_{x\to 3^-}[|x|]=2$ dan $\displaystyle\lim_{x\to 3^+}[|x|]=3$

Karena limit kiri dan kanan nilainya beda maka fungsi tersebut tidak punya limit.

$\displaystyle\lim_{x\to 3}[|x|]=$ tidak ada



Sekian dan terima kasih...semoga bermanfaat...

Referensi: Kalkulus edisi ketujuh oleh Dale Verberg dan Edwin J. Purcell