Menghitung Akar Persamaan Kuadrat dalam Matematika

Persamaan kuadrat merupakan salah satu materi dalam matematika, materi ini telah kita pelajari semenjak kita memakai seragam sekolah.

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial yang berorde 2 atau polinomial dengan pangkat tertinggi 2, bentuk persamaannya yaitu:
$\displaystyle{y=ax^{2}+bx+c}$

Untuk menyelesaiakan persamaan kuadrat ada 3 metode yaitu memfaktorkan, melengkapkan kuadrat, dan menggunakan rumus.

1. METODE MEMFAKTORKAN
Selesaikan persamaan $x^{2}+3x+2=0$
Jawab :
$x^{2}+3x+2=0$
$(x-2)(x-1)=0$
Maka:
$(x-2)=0$ maka $x=2$
$(x-1)=0$ maka $x=1$
Jadi solusi dari persamaan $x^{2}+3x+2=0$ adalah $x=2$ dan $x=1$

2. METODE MELENGKAPKAN KUADRAT
Selesaikan persamaan $x^{2}-8x+7=0$
Jawab:
$x^{2}-8x+7=0$
$x^{2}-8x+16-9=0$
$x^{2}-8x+16=9$
$(x-4)^{2}=9$
Maka:
$(x-4)=3$ sehingga $x=7$
Atau
$(x-4)=(-3)$ sehingga $x=1$
Jadi solusi dari persamaan $x^{2}-8x+7=0$ adalah $x=7$ dan $x=1$

3. METODE RUMUS ABC
Rumus yang digunakan yaitu :
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$
Cara mengunakannya yaitu tinggal memasukkan nilai-nilai a, b, dan c, dan mulai hitung persamaan.
D di sini adalah diskriminan, dengan :
--Jika D>0, maka nilai $x_1$ dan $x_2$ adalah berupa bilangan real.
--Jika D=0, maka $x_1$ dan $x_2$ bernilai sama, yaitu akar-akarnya kembar.
--Jika D<0 maka nilai $x_1$ dan $x_2$ adalah bukan berupa bilangan real, namun bilangan kompleks

Contoh untuk D>0
Hitunglah solusi persamaan kuadrat $x^2-4x+3=0$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2}-4.1.3}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{4 \pm 2}{2}}$
Maka:
$\displaystyle{x_{1}=\frac{4+2}{2}=3}$
$\displaystyle{x_{2}=\frac{4-2}{2}=1}$
Jadi solusi dari persamaan kuadrat $x^2-4x+3=0$ adalah $x=3$ dan $x=1$

Contoh untuk D=0
Hitunglah solusi persamaan kuadrat $x^2+6x+9=0$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-6 \pm \sqrt{(-6)^{2}-4.1.9}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-6 \pm \sqrt{0}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-6 \pm 2}{2}}$
Maka:
$\displaystyle{x_{1}=\frac{-6+0}{2}=-3}$
$\displaystyle{x_{2}=\frac{-6-0}{2}=-3}$
Jadi solusi dari persamaan kuadrat $x^2-4x+3=0$ adalah $x=-3$

Contoh untuk D<0
Untuk D<0 solusinya adalah berupa bilangan kompleks yaitu bilangan yang terdiri dari bilangan real dan bilangan imajiner Hitunglah solusi dari persamaan kuadrat $x^2+2x+2=0$ yaitu:
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4.1.2}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4.(-1)}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4.i^{2}}}{2.1}}$
$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-2 \pm 2i }{2}}$
Maka:
$\displaystyle{x_{1}=\frac{-2+2i}{2}=-1+i}$
$\displaystyle{x_{2}=\frac{-2-2i}{2}=-1-i}$
Jadi solusi dari persamaan kuadrat $x^2+2x+2=0$ adalah $x=-1+i$ dan $x=-1-i$
Dengan $i$ merupakan bilangan imajiner.