Membentuk Persamaan Lingkaran dalam Matematika

Lingkaran adalah himpunan titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).
Misalnya pandang lingkaran dengan jari-jari 3 berpusat di (-1,2). Andaikan (x,y) adalah titik sebarang pada lingkaran ini maka menurut rumus jarak didapatkan :
$\displaystyle {\sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2}=3^{2}}$
Bila kedua ruas dikuadratkan diperoleh :
$(x+1)^{2} + (y-2)^{2}=9$
Persamaan diatas dinamakan persamaan lingkaran

Sehingga secara umum lingkaran dengan jari-jari r dan pusat (h,k) mempunyai persamaan:
$(x-h)^{2} + (y-k)^{2}=r^{2}$ ...(1)
Persamaan diatas disebut dengan persamaan baku sebuah lingkaran

Kemudian persamaan lingkaran dengan jari-jari r dan dengan pusat (0,0) yaitu:
$(x-0)^{2} + (y-0)^{2}=r^{2}$
$x^{2} + y^{2}=r^{2}$ ...(2)

Contoh :
Carilah persamaan lingkaran dengan pusat (2,-1) dan dengan jari-jari 4. Kemudian carilah titik koordinat y jika koordinat x nya adalah 3.
Jawab :
Dengan pusat (2,-1) dan jari-jari 7, menurut persamaan 1, maka:
$(x-2)^2 + (y+1)^2=4^2$
$(x-2)^2 + (y+1)^2=16$
Jadi persamaan lingkaran yang melalui pusat (2,-1) adalah $(x-2)^2 + (y+1)^2=16$

Kemudian untuk x=3, maka :
$(x-2)^2 + (y+1)^2=16$
$(3-2)^2 + (y+1)^2=16$
$1+(y+1)^2=16$
$(y+1)^2=15$
$y+1=\pm \sqrt{15}$
$y=-1 \pm \sqrt{15}$
$y_{1}=-1 + \sqrt{15}=2,87$
$y_{2}=-1 - \sqrt{15}=-4,87$

Berikut adalah Grafik lingkaran dan koordinat-koordinatnya:



Contoh 2:
Carilah persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 3
Jawab :
Menurut persamaan 2 maka:
$x^{2} + y^{2}=3^{2}$
$x^{2} + y^{2}=9$

Berikut adalah Grafik lingkaran dan koordinat-koordinatnya:



Sumber :
Buku kalkulus oleh dale varberg dan edwin j. Purcell, edisi 7,jilid 1