Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan sinus

Ingat rumus ini: “rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku”

Misalkan terdapat segitiga sembarang ABC, dan kita menarik garis tinggi dari titik sudut C, sehingga diperoleh garis tinggi misalnya CD, maka gambarannya yaitu:

Dari segitga sembarang tersebut dapat diketahui:
$\sin A=\displaystyle{\frac{CD}{AC}=\frac {CD}{b}}$

Maka: $CD=b. \sin A$ ... i
$\sin B=\displaystyle{\frac{CD}{BC}=\frac {CD}{a}}$
Maka: $CD=a. \sin B$ ... ii

Dari i dan ii dapat dituliskan:
$CD=CD$
$b. \sin A= a. \sin B$
$\displaystyle{\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}}$ ... iii

Kemudian jika kita menarik garis tinggi dari titik sudut B, sehingga diperoleh garis tinggi BE, maka gambarannya yaitu:

Dari segitga sembarang tersebut dapat diketahui:
$\displaystyle{\sin C=\frac{BE}{BC}=\frac {BE}{a}}$

Maka: $BE=a. \sin C$ ... iv
$\sin A=\displaystyle{\frac{BE}{BA}=\frac {BE}{c}}$
Maka: $BE=c. \sin A$ ... v

Dari iv dan v dapat dituliskan:
$BE=BE$
$a. \sin C= c. \sin A$
$\displaystyle{\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}}$ ... vi

Dari persamaan iii dan vi, maka didapatkan aturan sinus untuk segitiga sembarang yaitu:
$\displaystyle\boxed{\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}}$

=========================================================================

Aturan Cosinus

Misalkan terdapat segitiga sembarang ABC, dan kita menarik garis tinggi dari titik sudut C, sehingga diperoleh garis tinggi misalnya CD, maka gambarannya yaitu:

Perhatikan segitiga ACD
Dari segitiga ACD dapat dituliskan:
$(AC)^2=(AD)^2+(CD)^2$
$b^2=(AD)^2+(CD)^2$ ... I

Kemudian perhatikan segitiga BCD
Dari segitiga BCD dapat dituliskan:

$\sin B=\displaystyle\frac{CD}{BC}$
$\sin B=\displaystyle\frac{CD}{a}$
$CD=a.( \sin B)$ ... II

$\cos B=\displaystyle\frac{BD}{BC}$
$\cos B=\displaystyle\frac{BD}{a}$
$BD=a.(\cos B)$ ... III

Kemudian dari persamaan II dan III, didapatkan
$AD=AB-BD$
$AD=c-a.(\cos B)$ ... IV

Kemudian subtitusikan II dan IV ke I, sehingga diperoleh:
$b^2=(AD)^2+(CD)^2$
$b^2=( c-a.(\cos B))^2+( a.( \sin B))^2$
$b^2=c^2-2.a.c.(\cos B)+a^2 (\cos^2 B)+a^2 (\sin^2 B)$
$b^2=a^2 (\sin^2 B+\cos^2 B)+c^2--2.a.c.(\cos B)$
$b^2=a^2(1)+c^2--2.a.c.(\cos B)$

Jadi didapatkan aturan cosinus sebagai berikut:
$b^2=a^2+c^2-2.a.c.(\cos B)$ ... V

Dengan cara yang sama, maka bisa didapatkan:
$a^2=b^2+c^2-2.b.c.(\cos A)$ ... VI

dan :
$c^2=a^2+b^2-2.a.b.(\cos C)$ ... VII

Dari V, VI, dan VII, maka didapatkan aturan cosinus sebagai berikut:
$$\begin{align} a^2=b^2+c^2-2.b.c.(\cos A)\\ b^2=a^2+c^2-2.a.c.(\cos B)\\ c^2=a^2+b^2-2.a.b.(\cos C) \end{align}$$

Dari aturan cosinus kita bisa mendapatkan rumus untuk menghitung besar sudut pada segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga sisinya, yaitu:

Bagian 1:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$$\begin{align*} a^2 &=b^2+c^2-2.b.c.(\cos A)\\ 2.b.c.(\cos A) &= b^2+c^2-a^2\\ (\cos A)&=\frac{ b^2+c^2-a^2}{2bc} ... 1 \end{align*}$$
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dengan cara yang sama Maka didapatkan:
$\displaystyle{(\cos B)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}} ... \text{2}$

Dan:
$\displaystyle{(\cos C)=\frac{ a^2+b^2-c^2}{2ab}} ... \text{3}$

Dari persamaan 1, 2, dan 3 maka didapatkan aturan cosinus sebagai berikut:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$$\begin{align} (\cos A)=\frac{ b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ (\cos B)=\frac{ a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ (\cos C)=\frac{ a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align}$$
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------