Penjumlahan dan Perkalian Matriks

A. OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Definisi : Jumlah dua matriks
Misalkan $\small \mathbf{A}=a_{ij}$ dan $\small \mathbf{B}=b_{ij}$ merupakan dua matriks yang berukuran sama $mxn$, yaitu $m=n$. Jumlah matriks $\small \mathbf{A}$ dan $\small \mathbf{B}$ ditulis $\small \mathbf{A+B}$ adalah matriks berukuran $mxn$ dengan elemennya merupakan jumlah elemen yang seletak dari kedua matriks. Ditulis:
$\small \mathbf{A+B}= a_{ij}+ b_{ij}$

Kemudian untuk operasi pengurangan penulisannya sama hanya tanda “+” diganti dengan “-“. Sedangkan untuk operasi-nya yaitu dengan matriks $\small \mathbf{A}$ ditambah dengan $\small \mathbf{(-1)B}$

Contoh 1: Penjumlahan untuk matriks berukuran sama
Terdapat matriks A dan B berikut:
$\small \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right]$
$\small \mathbf{B}=\left[ \begin{matrix} 3& 7& 3\\ 2& 1& 5\\ 9& 8& 2\\ \end{matrix} \right]$
Maka:
$\small \mathbf{A+B}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 3& 7& 3\\ 2& 1& 5\\ 9& 8& 2\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1+3& 2+7& 3+3\\ 4+2& 3+1& 5+5\\ 6+9& 8+8& 9+2\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 4& 9& 6\\ 6& 4& 10\\ 15& 16& 11\\ \end{matrix} \right]$

$\small \mathbf{A-B}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 3& 7& 3\\ 2& 1& 5\\ 9& 8& 2\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1-3& 2-7& 3-3\\ 4-2& 3-1& 5-5\\ 6-9& 8-8& 9-2\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -2& -5& 0\\ 2& 2& 0\\ -3& 0& 7\\ \end{matrix} \right]$

Contoh 2:
$\small \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right]$
$\small \mathbf{C}=\left[ \begin{matrix} 1& 5& 3\\ 3& 8& 2\\ \end{matrix} \right]$

Terlihat bahwa matriks $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{C}$ memiliki ukuran yang berbeda, sehingga hasil dari A+C adalah tak terdefinisi.

B. OPERASI PERKALIAN MATRIKS

B.1. Perkalian matriks dengan bilangan
Definisi:
Diketahui $\mathbf{A}$ adalah sebuah matriks dan $d$ merupakan bilangan. Matriks $d\mathbf{A}$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks $\mathbf{A}$ dengan $d$. Ditulis :
$\small d\mathbf{A}=(d.a_{ij})$
Dan :
$\small \mathbf{-A=(-1)A}$
$\small \mathbf{A-B=A+(-1)B}$

Contoh 1:
$\small \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right]$
Maka:
$\small \mathbf{2A}=\left[ \begin{matrix} 2.1& 2.2& 2.3\\ 2.4& 2.3& 2.7\\ 2.6& 2.8& 2.9\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2& 4& 6\\ 8& 6& 14\\ 12& 16& 18\\ \end{matrix} \right]$

Contoh 2:
$\small \mathbf{C}=\left[ \begin{matrix} 1& 5& 3\\ 3& 8& 2\\ \end{matrix} \right]$
Maka:
$\small \mathbf{3C}=\left[ \begin{matrix} 3.1& 3.5& 3.3\\ 3.3& 3.8& 3.2\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3& 15& 9\\ 9& 24& 6\\ \end{matrix} \right]$

B.2. Perkalian antar matriks
Definisi:
Diketahui matriks $\small \mathbf{A}$ berukuran $mxp$ dan matriks $\small \mathbf{B}$ berukuran $pxn$. Hasil Perkalian matriks $\small \mathbf{A}$ dan $\small \mathbf{B}$ ditulis $\small \mathbf{AB}$, adalah matriks berukuran $mxn$ dengan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah perkalian matriks antara baris ke-i dari matriks $\small \mathbf{A}$ dan kolom ke-j dari matriks $\small \mathbf{B}$.

Contoh 1:
Diketahui matriks berikut:
$\small \mathbf{E}=\left[ \begin{matrix} 1& 2\\ 4& 3\\\end{matrix} \right]$
$\small \mathbf{G}=\left[ \begin{matrix} 5& 7\\ 6& 8\\\end{matrix} \right]$
Maka:
$\small \mathbf{E*G}= \left[ \begin{matrix} 1& 2\\ 4& 3\\\end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} 5& 7\\ 6& 8\\\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1.5+2.6& 1.7+2.8\\ 4.5+3.6& 4.7+3.8\\\end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 17& 23\\ 38& 46\\\end{matrix} \right]$

Contoh 2:
$\small \mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right]$
$\small \mathbf{H}=\left[ \begin{matrix} 10\\ 11\\ 5\\ \end{matrix} \right]$
Maka :
$\small \mathbf{A*H}=\left[ \begin{matrix} 1& 2& 3\\ 4& 3& 7\\ 6& 8& 9\\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} 2\\ 3\\ 5\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1.2+2.3+3.5\\ 4.2+3.3+7.5\\ 6.2+8.3+9.5\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 23\\ 52\\ 81\\ \end{matrix} \right]$