Perhitungan Kuartil Data Tunggal dalam Matematika

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama. Nilai-nilai ini dinyatakan dengan $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$. Masing-masing disebut kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga. Kuartil kedua sama dengan mediannya. Sebelum kita menghitung kuartil kita harus mengurutkan data terlebih dahulu dari yang terkecil ke terbesar.

Untuk menghitung kuartil data tunggal ada beberapa metode, dan tiap-tiap metode bisa menghasilkan jawaban yang berbeda-beda ataupun sama. Walaupun tiap-tiap metode bisa menghasilkan nilai yang berbeda-beda, nilainya tidak jauh berbeda, selisihya sangat kecil. Namun pada kuartil kedua nilainya sama dengan median (Nilai Tengah) sehingga untuk menghitung $Q_2$ gunakan rumus median.

Berikut adalah beberapa metode untuk menghitung $Q_1$ dan $Q_3$:

Metode 1: METODE TUKEY

Untuk metode ini:
Langkah 1: Menghitung median dari data
Langkah 2: menghitung median dari setengah data bagian atas dan setengah data bagian bawah. Jika jumlah datanya ganjil maka nilai data yang merupakan median tadi dimasukkan dalam perhitungan.
Contoh :
{67,68, 68, 68, 72, 75, 75, 76, 80, 89,89, 90, 90, 91,93}
Terlihat ada 15 data
$\displaystyle{Me=x_{\frac{15+1}{2}}=x_8=76}$
Karena jumlah datanya ganjil yaitu 15, maka nilai yang merupakan median masuk dalam perhitungan median pada setengah data bagian atas maupun setengah data bagian bawah, sehingga kita mencari nilai median dari:
{67,68, 68, 68, 72, 75, 75, 76} dan {76, 80, 89,89, 90, 90, 91,93}
Kedua data di atas jumlahnya masing-masing 8, sehingga
$\displaystyle{Me=\frac{1}{2} \left[x_{\frac{8}{2}}+ x_{\frac{8}{2}+1} \right]=\frac{1}{2} \left[x_4+x_5\right]= \frac{1}{2}(68+72)=70}$
$\displaystyle{Me=\frac{1}{2} \left[x_{\frac{8}{2}}+ x_{\frac{8}{2}+1} \right]=\frac{1}{2} \left[x_4+x_5\right]= \frac{1}{2}(89+90)=89,5}$
Sehingga $Q_1$ sama dengan nilai median dari setengah data bagian atas {67,68, 68, 68, 72, 75, 75, 76} yaitu 70, dan $Q_3$ sama dengan nilai median setengah data bagian bawah {76, 80, 89,89, 90, 90, 91,93} yaitu 89,5.
Dituliskan :
$Q_1=70$, $Q_2=76$, dan $Q_3=89,5$

Metode 2: METODE MOORE and MCCABE (M-and-M)

Metode ini hampir sama dengan metode TUKEY namun dalam perhitungan median dari setengah data bagian atas dan setengah data bagian bawah, nilai data yang merupakan median tidak diikutkan, sehingga pada contoh sebelumnya:
{67,68, 68, 68, 72, 75, 75, 76, 80, 89,89, 90, 90, 91,93}
Dengan $\displaystyle{Me=x_{\frac{15+1}{2}}=x_8=76}$
Selanjutnya yang dihitung adalah median dari setengah data bagian atas dan bawah yaitu:
{67,68, 68, 68, 72, 75, 75} dan {80, 89,89, 90, 90, 91,93}
Kedua data tersebut jumlahnya masing-masing adalah 7 sehingga:
$\displaystyle{Me=x_{\frac{7+1}{2}}=x_4=68}$
$\displaystyle{Me=x_{\frac{7+1}{2}}=x_4=90}$
Dituliskan :
$Q_1=68$, $Q_2=76$, dan $Q_3=90$

Metode 3: METODE MENDENHALL dan SINCICH

Dalam tulisannya pada “Statistics for Engineering and Science” diperkenalkan cara menghitung kuartil yaitu:
$\displaystyle{Q_1=x_{\frac{1}{4}(n+1)}}$
$\displaystyle{Q_3=x_{\frac{3}{4}(n+1)}}$

Jika (n+1) tidak habis dibagi 4, untuk kuartil bawah nilainya dibulatkan ke bilangan bulat terdekat, untuk nilai koma 0,5 maka dibulatkan ke atas. Contoh:
$Q_1=x_{2,5}=x_3$
$Q_1=x_{2,25}=x_2$
Sedangkan untuk kuartil atasnya jika (n+1) tidak habis dibagi 4 maka nilainya dibulatkan ke bilangan bulat terdekat, untuk nilai koma 0,5 maka dibulatkan kebawah. Contoh:
$Q_3=x_{7,5}=x_7$
$Q_3=x_{7,25}=x_7$

Pada contoh sebelumnya:
{67,68, 68, 68, 72, 75, 75, 76, 80, 89,89, 90, 90, 91,93}
$\displaystyle{Q_1=\frac{1}{4}(n+1)= \frac{1}{4}(15+1)=x_4=68}$
$\displaystyle{Q_3=\frac{3}{4}(n+1)= \frac{3}{4}(15+1)=x_12=90}$
Dan $Q_2$ sama dengan rumus median:
$\displaystyle{Q_2=x_{\frac{1}{2}(n+1)}=x_{\frac{1}{2}(15+1)}=x_8=76}$

Metode 4: METODE MENDENHALL dan SINCICH dengan cara pembulatan yang berbeda

Cara pembulatannya yaitu dengan “INTERPOLASI LINIER” antara 2 nilai data terdekat. Misal:
$x_{2,25}=\frac{1}{4}(x_2+x_3)$
$x_{2,5}=\frac{1}{2}(x_2+x_3)$
$x_{2,75}=\frac{3}{4}(x_2+x_3)$

Metode ini digunakan dalam EXCEL 2010 sebagi QUARTILE.EXC

Metode 5: METODE FREUND dan PERLES

Dengan: :
$\displaystyle{Q_1=x_{\frac{1}{4}(n+3)}}$
$\displaystyle{Q_3=x_{\frac{1}{4}(3n+1)}}$
Jika hasil (n+1) dan (3n+1) tidak hasbis dibagi 4, maka dibulatkan dengan “INTERPOLASI LINIER” antara 2 nilai data terdekat.
Misal:
$x_{2,25}=\frac{1}{4}(x_2+x_3)$
$x_{2,5}=\frac{1}{2}(x_2+x_3)$
$x_{2,75}=\frac{3}{4}(x_2+x_3)$

Metode ini sangat jarang digunakan, namun digunakan dalam EXCEL 2007 dan 2010. Dalam Excel 2007 sebagai QUARTILE dan Excel 2010 sebagai QUARTILE.INC

Referensi :
-Scaum’s Outline STATISTIK edisi ketiga, oleh Murray R.Spiegel dan Larry J.Stepshens
-mathforum.org/library/drmath