Perhitungan Percentil pada Data Tunggal

Percentil adalah nilai-nilai yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama. Misalnya persentil ke-20 adalah nilai bawah yang 20% dari data dpat ditemukan di sana.

Cara menghitung persentil ada 2 metode yaitu metode rank terdekat dan metode interpolasi linier antar rank-rank terdekat. Rank maksudnya adalah ranking, misalnya sebuah data diurutkan dari nilai terbesar maka data yang mempunyai nilai paling besar adalah rangking pertama yaitu mempunyai rank 1. Berikut Penjelasan tentang kedua metode.

1. METODE RANK TERDEKAT
Rumus :
$P_{m}=x_{\frac{m}{100} n}$
Dengan

-$n$=jumlah data
-$m=1,2,...,100$
jika hasil dari $\frac{m}{100}n$ tidak bulat maka nilainya dibulatkan ke atas.
Contoh : terdapat sekumpulan data berikut
{16,22,36,45,65}
Hitunglah persentil ke-5, 25, 50, dan 75.
Pada data di atas n=5
$P_{5}=x_{\frac{5}{100} 5}=x_{0,25}=x_{1}=16$
$P_{25}=x_{\frac{25}{100} 5}=x_{2,5}=x_{3}=36$
$P_{50}=x_{\frac{50}{100} 5}=x_{2,5}=x_{2,5}=x_{3}=36$
$P_{75}=x_{\frac{75}{100} 5}=x_{0,25}=x_{3,75}=x_{4}=45$
Pada perhitungan dengan metode ini nilai yang sama dapat digunakan untuk lebih satu persentil. Contohnya pada data di atas, persentil ke-25 dan persentil ke-50 mempunyai nilai yang sama yaitu 36.

2. METODE INTERPOLASI LINIER ANTAR RANK-RANK PALING DEKAT
sebelum memulai perhitungan dengan interpolasi linier, berikut adalah rumus yang digunakan.

Berikut rumus umum Percentil:
$\displaystyle{P_{m}=x_{k}}$...(2a)
Dengan $m=1...100$ dan berikut adalah cara perhitungan $k$.

Hubungan antara rank $(PR)=100p$, dan konstanta, dengan ukuran sample data n yaitu:

$k=f(p,n)=(n+1-2C)p+C$...(2b)

ket:
- rank $k$ maksudnya nilai ranking data ke-$k$
- $(PR)$ adalah percentrank
- $p$ adalah persentil yang akan dihitung, bernilai $p=0...1$
Misal yang akan dihitung adalah persentil ke-25, maka $p=\frac{25}{100}=0,25$
- $n$ adalah jumlah data.

Kemudian fungsi interpolasi linier yang melalui $(v_{i},i)$ yaitu:

$v(k)=v_{\left\lfloor k \right\rfloor} + (k\%1)(v_{\left \lfloor k \right\rfloor +1} - v_{\left\lfloor k \right\rfloor} )$ ...(2c)

dengan
- $k\geqslant 1$
- $i=1...n$
- $v_{\left\lfloor x \right\rfloor}$ adalah fungsi lantai, yaitu fungsi yang dibulatkan ke bawah.
- $(k\%1)$ sama dengan "$ k \mod 1$" adalah fungsi modulo
dibaca "$k$ modulo 1", dengan hasilnya adalah sisa pembagian dari $k$ dibagi 1.

Berdasarkan pada rumus (2b), ada 3 macam varian yang akan digunakan yaitu $C=\frac{1}{2}$, $C=1$, dan $C=0$. Berikut Perhitungannya:

2.1.Pilihan 1: dengan $C=\frac{1}{2}$

$k=f(p)= \begin{cases} np+\frac{1}{2} &; untuk \space semua \space p=p_{1}...p_{n},\\ 1 &; untuk \space semua \space p=0...p_{1} ,\\ n &; untuk \space semua \space p=p_{n}...1 \end{cases}$

Dengan :
$p_{i}=\frac{1}{n} (i-\frac{1}{2})$
dengan $i=1...n$ dan $n$ adalah jumlah data.

Contoh : terdapat data: {16,30,36,45,65}
Hitunglah persentil ke-5, 30, 75, dan 95

Langkah 1: hitung percent rank dari kelima data
Dengan $(PR)_{i}=100p_{i}$
$(PR)_{1}=100. \frac{1}{5} (1-\frac{1}{2})=10$
$(PR)_{2}=100. \frac{1}{5} (2-\frac{1}{2})=30$
$(PR)_{3}=100. \frac{1}{5} (3-\frac{1}{2})=50$
$(PR)_{4}=100. \frac{1}{5} (4-\frac{1}{2})=70$
$(PR)_{5}=100. \frac{1}{5} (5-\frac{1}{2})=90$

Langkah 2: Menghitung persentil
-Percentil ke-5
ditanyakan $P_{5}$ dan dari langkah 1 diketahui $(PR)_{1}=10$
terlihat $5 < 10$ sehingga gunakan data pertama sebagai persentil, sehingga
$P_{5}=16$

-Percentil ke-30
ditanyakan $(PR)_{2}=30$
terlihat $30=30$, sehingga gunakan nilai data kedua sebagai persentil, sehingga:
$P_{30}=30$

-Percentil ke-75
ditanyakan $P_{75}$ dan dari langkah 1 diketahui $(PR)_{5}=90$
terlihat 75 ada diantara 70 dan 90, dituliskan : $70 < 75 < 90$, sehingga:
$b=4$, $b+1=5$, $(PR)_{b}=(PR)_{4}=70$, $x_{4}=45$, $x_{b+1}=x_{5}=90$, $n=5$
$\small \displaystyle{P_{75}=x_{i}+n. \frac{P-(PR)_{b}}{100} (x_{b+1}-x_{b})}$
$\small \displaystyle{P_{75}=x_{4}+n. \frac{P-(PR)_{4}}{100} (x_{5}-x_{4})}$
$\small \displaystyle{P_{75}=45+5. \frac{75-70}{100} (65-45)}$
$\small \displaystyle{P_{75}=45+5}$
$\small \displaystyle{P_{75}=50}$

-Percentil ke-95
ditanyakan $P_{95}$ dan dari langkah 1 diketahui bahwa $(PR)_{5}=90$
terlihat $95 > 90$, sehingga gunakan nilai data terakhir sebagai persentil ke-95, maka:
$P_{95}=65$

Keterangan :
PR: percent rank

2.2.Pilihan 2: dengan C=1

$k=f(p,n)=p(n-1)+1$
dengan $p=\frac{m}{100}$ dan $k=2,8$
Kemudian berdasarkan rumus 2b, maka:
$P_{45}=x_{2,8}$
$P_{45}=x_{2}+(0,8)(x_{3}-v_{2})=30+(0,8)(36-30)=34,8$
Jadi persentil ke-45 adalah 34,8.

Catatan:
Rumus ini digunakan pada excel 2007 sebagai PERCENTILE dan excel 2010 sebagai PERCENTILE.INC

2.3.Pilihan 3:C=0

$k=f(p)= \begin{cases} 1 &; untuk \space p=0...\frac{1}{n+1},\\ p(n+1) &; untuk \space p=\frac{1}{n+1}...\frac{n}{n+1} ,\\ n &; untuk \space p=\frac{n}{n+1}...1 \end{cases}$
dengan:
$p=\frac{m}{100}$ dan $m=1...100$

Contoh : terdapat data: {16,30,36,45,65}
Hitunglah persentil ke-45
$k=\frac{45}{100} (5+1)=2,7$
Kemudian berdasarkan rumus 2b, maka:
$P_{45}=x_{2,7}$
$P_{45}=x_{2}+(0,7)(x_{3}-v_{2})=30+(0,7)(36-30)=34,8$
Jadi persentil ke-45 adalah 34,2.

Catatan:
Rumus ini digunakan pada excel 2010 sebagai PERCENTILE.EXC

dari 2 metode perhitungan percentil data di atas, metode yang banyak digunakan dalam perhitungan manual maupun dalam software adalah metode interpolasi linier antara rank-rank yang paling dekat, dengan nilai C=1 dan C=0.


Referensi :
wikipedia.org