Masalah Nilai Mutlak

Definisi:
Nilai mutlak suatu bilangan real $x$ dinyatakan dengan $|x|$, didesfinisikan sebagai:

$|x|=x$ jika $x \geq 0$

$|x|=-x$ jika $x \lt 0$

Contoh:
$|7|=7$
$|0|=0$
$|-3|=-(-3)=3$.


Sifat-Sifat Nilai Mutlak

1. $|ab|=|a||b|$
2. $\displaystyle{\left \vert \frac{a}{b} \right \vert =\frac{|a|}{|b|}}$
3. $|a+b| \leq |a|+|b|$
4. $|a-b| \geq |a|-|b|$

Berikut adalah grafik untuk fungsi $f(x)=|x|$

Nilai Mutlak Pada Pertidaksamaan

Pada Masalah pertidaksamaan ada kasus-kasus yang melibatkan nilai mutlak. Misal jika $|x|<5$ maka berarti x nilainya lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari (-5), yaitu $x<5$ dan $-x>5$.
Sehingga :

$|x|<a \Leftrightarrow -a<x<a$

$|x|>a \Leftrightarrow x<a \space atau \space x>a$

contoh 1:

Selesaikan pertidaksamaan $|x-2|<5$ dan gambarkan penyelesaiannya pada garis bilangan.
Jawab:
$|x-2|<5$
$\Leftrightarrow -5<x-2<5$
$\Leftrightarrow -3<x<7$
Berikut gambaran penyelesaiannya pada garis bilangan:

Lambang $|x-2|<5$ menyatakan jarak antara $x$ dengan 4, sehingga $|x-2|<5 \space $ menyatakan jarak antara x dan 2 kurang dari 5. Dan bilangan-bilangan yang mempunyai memenuhi keadaan ini berada diantara (-3) dan 5.

Contoh:2

Selesaikan $|2x+7| \geq 5$ dan gambarkan penyelesaiannya pada garis bilangan.
Jawab:
$(2x-7)\leq (-5) \space \text{atau} \space (2x-7) \geq 5$
$2x \leq 2 \space \text{atau} \space 2x \geq 12$
$ x \leq 1 \space \text{atau} \space x \geq 6$
Berikut gambaran penyelesaiannya pada garis bilangan: