Solusi Persamaan Polinomial Pangkat Tiga atau Lebih dengan Excel

Untuk Mencari solusi dari persamaan polinomial pangkat 3, 4, 5, dst dengan Excel kita akan menerapkan metode Horner kemudian menerapkannya ke Excel.

Contoh1: PERSAMAAN POLINOMIAL PANGKAT 3
Misalkan kita akan menghitung solusi dari persamaan $x^{3}+2x^{2}-5x-6=0$
Berikut gambaran Metode Horner:

Langkah 1: menentukan konstanta dan koefisien
Pada persamaan tersebut a3=1, a2=2, a1=-5, a0=-6
Pada persamaan tersebut konstantanya adalah (-6), dan faktor dari (-6) yaitu -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, dan 6.
Misalkan kita pilih k=(-1)

Langkah 2: tuliskan angka-angka 1, 2, -5, dan -6 di excel
Tuliskan angka 1 di cell C5, angka 2 di cell D5, angka (-5) di cell E5, dan angka (-6) di cell F5, masukkan juga angka (-1) yaitu nilai k, pada cell B5.

Langkah 3: tuliskan rumus-rumus
Sesuai dengan metode Horner, tuliskan rumus-rumus berikut
-di cell C7: =C5+C6
-di cell D7: =D5+D6
-di cell E7: =E5+E6
-di cell F7: =F5+F6
-di cell D6: =C7*B5
-di cell E6: =D7*B5
-di cell F6: =E7*B5
Untuk cell C6, kosongkan saja

Berikut gambarannnya:

Untuk hasil akhirnya yaitu cell F7 yang diblok warna kuning, agar menunjukkan bahwa k yang dipilih merupakan solusi persamaan polinomial maka nilainya harus 0(nol). Pada gambar 1 tersebut terlihat bahwa hasil akhirnya adalah nol, sehingga benar bahwa (-1) merupakan akar dari persamaan polinomial $x^{3}+2x^{2}-5x-6=0$, sehingga :
$x^{3}+2x^{2}-5x-6=(x+1)(x^{2}+x-6)=0$
Kemudian hitung solusi persamaan kuadrat $x^{2}+x-6=0$ dengan cara apapun terserah, secara manual atau excel, untuk mengetahui caranya silahkan klik link di bawah ini:
Menghitung Solusi Persamaan Kuadrat
Solusi Persamaan Kuadrat dengan Excel
Sehingga didapatkan:
$x=-3$
$x=2$

Jadi solusi untuk persamaan $x^{3}+2x^{2}-5x-6=0$ yaitu:
$x=-1$
$x=-3$
$x=2$

Contoh2: PERSAMAAN POLINOMIAL PANGKAT 5
Menurut Metode Horner, misalkan kita menghitung solusi persamaan polinomial orde 5, setelah kita selesai dengan satu nilai k, kemudian akan dihasilkan nilai-nilai konstanta persamaan polinomial orde 4. Kemudian setelah perhitungan solusi persamaan polinomial orde 4 dengan satu nilai k berhasil diselesaikan, akan dihasilkan sebuah persamaan polinomial orde 3, dan seterusnya.

Berikut adalah sistem perhitungan persamaan polinomial orde 5:
Misalkan :
Hitung solusi persamaan polinomial $x^{5}+3x^{4}-5x^{3}-15x^{2}+4x+12=0$

Langkah 1: bentuk sistem perhitungan solusi persamaan polinomial orde 3, 4, dan 5
Pada persamaan tersebut a5=1, a4=3, a3=-5, a2=15, a1=4, a0=12
Pada Persamaan tersebut konstantanya adalah 12, dan faktor dari 12 yaitu -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6.
Misalkan pilih k=-1

Langkah 2: masukkan nilai-nilai konstanta dari persamaan dan nilai koefisen
Masukkan angka 1 pada cell C19, 3 pada cell D19, (-5) pada cell E19, (-15) pada cell F19, 4 pada cell G19, dan 12 pada cell H19, juga masukkan nilai k yaitu (-1) pada cell B19.

Langkah 3: masukkan rumus
Sesuai dengan metode Horner masukkan rumus:
-di cell C21 tuliskan: =C19
-di cell D20 tuliskan: =B19*C21
-di cell D21 tuliskan: =D19+D20
-di cell E20 tuliskan: =B19*D21
-di cell E21 tuliskan: =E19+E20
-di cell F20 tuliskan: =B19*E21
-di cell F21 tuliskan: =F19+F20
-di cell G20 tuliskan: =B19*F21
-di cell G21 tuliskan: =G19+G20
-di cell H20 tuliskan: =B19*G21
-di cell H21 tuliskan: =H19+H20
-di cell C12 tuliskan: =C21
-di cell D12 tuliskan: =D21
-di cell E12 tuliskan: =E21
-di cell F12 tuliskan: =F21
-di cell G12 tuliskan: =G21
-di cell C14 tuliskan: =C12
-di cell D13 tuliskan: =B12*C14
-di cell D14 tuliskan: =D12+D13
-di cell E13 tuliskan: =B12*D14
-di cell E14 tuliskan: =E12+E13
-di cell F13 tuliskan: =B12*E14
-di cell F14 tuliskan: =F12+F13
-di cell G13 tuliskan: =B12*F14
-di cell G14 tuliskan: =G12+G13
-di cell C5 tuliskan: =C14
-di cell D5 tuliskan: =D14
-di cell E5 tuliskan: =E14
-di cell F5 tuliskan: =F14
-di cell C7 tuliskan: =C5
-di cell D6 tuliskan: =B5*C7
-di cell D7 tuliskan: =D5+D6
-di cell E6 tuliskan: =B5*D7
-di cell E7 tuliskan: =E5+E6
-di cell F6 tuliskan: =B5*E7
-di cell F7 tuliskan: =F5+F6

Catatan :
Untuk suatu nilai k yang kita pilih jika hasil akhirnya yaitu cell yang blok warna kuning (pada gambar 2) bernilai 0(nol), maka nilai k tersebut merupakan akar dari persamaan polinomial yang sedang kita hitung.
Berikut hasilnya di excel:

Dari gambar 2 dapat disimpulkan bahwa (-1), 1, dan 2 merupakan akar-akar dari persamaan polinomial $x^{5}+3x^{4}-5x^{3}-15x^{2}+4x+12=0$, sehingga dapat dituliskan: $x^{5}+3x^{4}-5x^{3}-15x^{2}+4x+12=(x+1)(x-1)(x-2)(x^{2}+5x+6)=0$
Kemudian hitung solusi persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6=0$, bisa hitung dengan cara apapun terserah saja, secara manual atau dengan excel, untuk mengetahui caranya silahkan klik link di bawah ini:
Menghitung Solusi Persamaan Kuadrat
Solusi Persamaan Kuadrat dengan Excel
Sehingga didapatkan bahwa (-3) merupakan akar persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6=0$.

Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi dari persamaan $x^{5}+3x^{4}-5x^{3}-15x^{2}+4x+12=0$ yaitu:
$x=-1$
$x=1$
$x=-2$
$x=-3$

Lakukan hal yang sama untuk polinomial berpangakat yang lain yaitu untuk orde 6, 7, 8, dst seperti pada pangkat 5 di atas.